例谈三角形中的三角函数问题

河北滦县第二中学   庞志全

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三角形中的三角函数问题，已经逐渐成为高考命题的一个热点。它们的解决大都以三角函数的基本知识为基础，以应用正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角公式为手段，考查转化化归能力，判断求解能力，以及应用知识分析解决实际问题的能力。

题型1求三角形中某个角的三角函数值

例1在△ABC中，若sinB= ，cosA= ，则cosC=(    )

A      B      C   或    D   -

分析：在△ABC中，由于A+B+C＝π，所以欲求cosC的值，就需要把cosC用A,B的三角函数值表示出来。

解：在△ABC中，∵0°<A<180°∴sinA=  ＝ ，∵ > ，∴sinA>sinB，∴B为锐角，cosB= = ,                cosC=cos(π-A-B)=-cos(A+B)=-cos Acos B+sinAsin B

=- × + × ＝ ，所以选A。

点拨：如果给定三角形中的某两个角的三角函数值，求第三个角的三角函数值，要注意三角形中的隐含条件的合理运用，如：（1）A+B+C＝π;（2）sinA=sin[π-(B+C)]= sin(B+C), cosA=-cos(B+C), tanA=-tan(B+C);(3)sin =cos ，cos ＝sin ;还要注意同角公式以及两角和与差的三角函数公式的应用。

题型2证明三角形中三角函数等式

例2在△ABC中，求证tan tan + tan tan + tan tan =1

分析：（法一）在△ABC中，由于A+B+C＝π∴ ，即 ,∴ ，两边取正切整理即可。

（法二）直接利用两角和与差的正切公式的变形公式证明，即利用公式tan(A+B)(1-tanAtanB)=tanA+tanB证明。

证明：（法一）在△ABC中，由于A+B+C＝π，∴ ，即 ，两边取正切得：tan ， ，∴ ，整理得tan tan + tan tan + tan tan =1。

（法二）在△ABC中，由于A+B+C＝π，∴ ，左边＝tan （tan  +tan ）+ tan tan

＝tan  tan (1- tan tan )+ tan tan

=cot  tan (1- tan tan )+ tan tan

=1- tan tan + tan tan =1.

点拨：在证明三角函数等式时，要注意注意三角形中的隐含条件以及三角公式的灵活运用。

例3在△ABC中，角A、B、C对边为a、b、c.证明： (2000北京、安徽春季)

分析：本题所要证明的等式中，即含有边也有三角函数，因此证明时要用正弦定理、余弦定理沟通边、角关系。

证明:在△ABC中,由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

∴

点拨：在解决含有边、角关系的三角形中的三角函数问题时，要优先考虑正弦定理、余弦定理的应用。

题型3判断三角形的形状

例4在△ABC中，已知tanA(sinC-sinB)=cosB-cosC,则△ABC是（   ）

A  等腰三角形                    B  A＝60°的三角形

C  等腰三角形或A＝60°的三角形  D  不能确定

分析：要判断三角形的形状，只需判断出边或角的关系即可。

解：在△ABC中，∵tanA(sinC-sinB)=cosB-cosC ∴ ，∴sinAsinC-sinAsinB=cosAcosB-cosAcosC整理得，cos(A-C)=cos(A-B), ∴A-C=A-B或A-C=-(A-B) ，∴B=C或2A=B+C,即A=60°，因此选C。

例5在△ABC中， ，试判断△ABC的形状。

解（一）：在△ABC中，A+B+C＝π，已知条件可以转化为： ∴

∵0<B+C<π，0< < ,∴ ≠0，∴2 ，即cos(B+C)=0,∴B+C= ,故△ABC是A为直角的直角三角形。

解（二）：原条件转化为 ，由正弦定理、与余弦定理得： ，

∴b(a²+c²-b²)+c(a²+ b²-c²)=2bc(b+c),即b(a²-b²)+c(a² -c²)= bc(b+c),

∴a² (b+c)- (b+c) (b²- bc+c²)= bc(b+c), ∴a²= b²+c², 故△ABC是A为直角的直角三角形。

点拨：判断三角形形状问题，应从两方面入手，利用正弦定理与余弦定理及三角变换把关系化为边的关系，或化为角的关系，两者选择其一即可达到目的。

题型4比较三角形中三角函数值的大小

例6若A、B、C是△ABC的三个内角，且A<B<C（C≠ ），则下列结论中正确的是（    ）

（A）tgA<tgC（B）ctgA<ctgC（C）sinA<sinC（D）cosA<cosC

分析：在三角形中，有（1）A<C sinA<sinC（2）A＝C sinA＝sinC，所以本题选择C。

例7在△ABC中，若C >90°,则tanAtanB与1的大小关系为（   ）A   tanAtanB>1   B   tanAtanB<1 

C    tanAtanB=1   D   不能确定

分析：在△ABC中，∵C >90°∴A,B为锐角，tanA>0,tanB>0,

tanC<0, ∵C＝π-(A+B), ∴tan C=-tan(A+B)=- <0, ∴  1-tanAtanB>0,即tanAtanB<1，所以选择B。

点拨：比较三角形中的三角函数值的大小时，首先要注意三角形中的一些结论，如（1）A<C sinA<sinC（2）A＝C sinA＝sinC；其次要注意三角公式的灵活运用。

题型5判断（或证明）三角函数值（或角）的范围

例8在△ABC中，已知sinA+sinC=2sinB,求证0<B≤ .

分析：欲证0<B< ，需要求出sinB的范围，因此，要对sinA+sinC=2sinB进行恒等变形。

证明：∵sinA+sinC=2sinB，∴2sin cos ＝4sin cos ，∵sin ＝ cos ∴sin ＝  cos ，又cos ≤1，

∴0<sin ≤ ,∴0<B≤ .

点拨：解决此类问题时，解题过程中要注意挖掘特殊关系式，如本题中的cos ≤1。

题型6计算三角形的面积或与其有关的问题

例9已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,

CD=DA=4,求四边形ABCD的面积。（01全国文）

分析：S＝S_△ABD+S_△CBD= AB AD sinA+ BC CD sinC, ∵A+C=π, ∴sinA= sinC, ∴S＝16 sinA,在△ABD中，由余弦定理得BD²=20-16cosA, 在△CBD中,BD²=52-48cosC,

∴20-16cosA=52-48cosC;又∵cosA=-cosC, ∴cosA=- ，A= ,S= 。

点拨：本题主要运用余弦定理、三角形面积公式和解三角形的知识和方法解决。

总之，在解决三角形中的三角函数问题时，要根据题目类型，选择适当的切入点，既要注意三角形中的隐含条件的合理运用，又要灵活运用正弦定理、余弦定理以及三角公式，还要要注意挖掘特殊关系式。

练习：1已知△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B， ，求 的值。

2若A、B是锐角 的两个内角，则点 在

A．第一象限 B.第二象限    C.第三象限   D.第四象限(01春)

3在直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB      。(93全国)

A.有最大值 和最小值0       B.有最大值 ，但无最小值
C.既无最大值也无最小值        D.有最大值1，但无最小值

4 △ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，设a＋c＝2b，A－C＝ ，求sinB值.(98全国)

参考答案：1  2  B  3  B  4