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用当代视角回望圆锥曲线
圆锥曲线问题是基础数学领域里的核心问题。现在人们普遍认为：用一个平面截圆锥面，可以得到圆、椭圆、双曲线、抛物线四种曲线。但存在的问题是古典圆锥曲线理论并没有确切地定义平面和圆锥面，这就使得圆锥曲线成了无源之水、无本之木，在解决具体的理论、实际问题时，总让人觉得若即若离、若明若暗。
为了更简洁、更精确地描述圆锥曲线，有必要先引入圆柱曲线，然后再说圆锥曲线。
总体思路是：一、用平面截圆柱面推导出椭圆和圆。二、用平面截圆锥面推导出双曲线、抛物线、椭圆。
第一节、用平面截圆柱面推导出椭圆和圆；
用一平面去截圆柱面，可以得到椭圆和圆两种曲线，命名为圆柱曲线。
在三维坐标系中，定义平面：y3任意 ① z3＝tanθΧ3 ②
（0＜θ≤90）
定义圆柱面：Χ3任意 ③ z3^＝rb^－y3^ ④
（rb>0）
把②、④联立得: y3^ ＝－tan^θΧ3^+rb^ ⑤
在平面内建二维坐标系，原点o2在三维的o3处，y3＝y2，Χ3/Χ2=cosθ，所以x3=cosθx2，把y3＝y2，x3=cosθx2代入⑤得：
y2^＝－sin^θx2^ +rb^ ⑥
化为一般式： y^＝－sin^θx^+ rb^ ⑦
⑦ 式即为圆柱曲线的统一表达式。
最后分析：1、当0<θ<90时，图形为椭圆；
2、当θ＝90时， 图形为圆。
说明：（x^、y^、rb^表示x、y、rb的平方）
因此可以认为：圆是特殊的椭圆（数学思维方法应该是：特殊性寓于普遍性之中）。在单独研究圆或椭圆时，完全可以把其放在圆柱曲线中来研究，使得命题、方法更简洁。
第二节、用平面截圆锥面推导出双曲线、抛物线、椭圆和圆四种曲线，命名为圆锥曲线。
一、用一平面去截圆锥面，可以得到双曲线、抛物线和椭圆，
在三维坐标系中，定义平面：y3任意 ① z3＝tanβΧ3 ②
（0≤β<90）
定义圆锥面：(z3－D)^＝tan^α X3^－y3^ ③
（D>0、0<α<90）
把②、③联立得: ( tanβX3－D)^＝ tan^α X3^－y3^ ④
整理得: y3^＝(tan^α －tanβ^) X3^ +2Dtanβ X3－D^ ⑤
在平面内建二维坐标系，原点o2在三维的o3处，y3＝y2，Χ3/Χ2=cosβ ，所以x3=cosβ x2; 把y3＝y2，x3=cosβ x2代入⑤得：
y2^＝(tan^α cos^β －sin^β) X2^ +2Dsinβ X2－D^ ⑥
化为一般式： y^＝(tan^α cos^β －sin^β) X^ +2Dsinβ X－D^ ⑦
⑦式即为圆锥曲线（不含圆）的统一表达式.
最后分析：1、当β＝0时, ⑦式变为y^＝tan^α X^－D^ ,图形为双曲线 。
2、当0<β<α时，⑦式不变，图形为双曲线 。
3、当β＝α时，⑦式变为y^＝2Dsin αX－D^，图形为抛物线 。
4、当β>α时，⑦式不变，图形为椭圆。
二、以上是用与y3oz3平面相交的平面去截圆锥面的情形。如果再用与y3oz3平面平行（不含重合）的平面去截圆锥面，仅得到圆一种曲线，表达式为：
( y－D)^＝－X^+tan^α E^ ⑧
定义平面：Χ3=E,Y3、z3任意。
( E>0)
综上所述：双曲线、抛物线、椭圆和圆四种曲线，不应该叫圆锥曲线，而应该叫二次曲线。这样名称中就既有代数（二次）又有几何（曲线）。通过以上推导，曲线依旧，就是不见当年的方程。
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