一、知识整合

    1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．

    2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．

   二、方法技巧

   1.三角函数恒等变形的基本策略。

   （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

   （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。

   （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。

   （4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。

   2.证明三角等式的思路和方法。

   （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

   （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

   3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

   4.解答三角高考题的策略。

   （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

   （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

   （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

   四、例题分析

   例1．已知，求（1）；（2）的值.

   解：（1）；

     (2) 

         .

   说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

   例2．求函数的值域。

   解：设，则原函数可化为

，因为，所以

当时，，当时，，

所以，函数的值域为。

   例3．已知函数。

   （1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；

   （2）证明：函数的图像关于直线对称。

   解：

(1)所以的最小正周期，因为，

  所以，当，即时，最大值为；

(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，

因为，

    ，

所以成立，从而函数的图像关于直线对称。

   例4． 已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1  （x∈R）,

   （1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

   （2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

   解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）+1

            =cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+

            =sin(2x+)+

   所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即  x=+kπ,（k∈Z）。

   所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}

   （2）将函数y=sinx依次进行如下变换：

   （i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；

   （ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；

   （iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；

   （iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。

   综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。

   说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (ωx+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y=+1=+1

   化简得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0

   ∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤

   ∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}

   例5．已知函数

   （Ⅰ）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；

   （Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.

   解：

   （Ⅰ）由=0即

   即对称中心的横坐标为

 （Ⅱ）由已知b2=ac

     即的值域为.

   综上所述，    ，          值域为 .

说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。

   例6．在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，

   (1)求的值；

   (2)若，且a=c，求的面积。

   解：(1)由正弦定理及，有，

即，所以，

又因为，，所以，因为，所以，又，所以。

(2)在中，由余弦定理可得，又，

所以有，所以的面积为

。

   例7．已知向量

，且，

   (1)求函数的表达式；

   (2)若，求的最大值与最小值。

   解：(1)，，，又，

所以，

所以，即；

(2)由(1)可得，令导数，解得，列表如下：

t －1 (－1，1) 1 (1，3)
导数 0 － 0 +
  极大值 递减 极小值 递增

而所以。

   例8．已知向量，

求的值；
(2)若的值。
   解：(1)因为

所以

又因为，所以，

即；

(2) ，

又因为，所以 ，

     ，所以，所以

   例9．平面直角坐标系有点

求向量和的夹角的余弦用表示的函数；
求的最值.
解：（1），

              即        

        （2） ，  又    ，

            ，    ，   .

说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。