对角线与半径

匆明女士突然看出来，水池的一边是一个矩形的对角线，而该矩形的另一条对角线恰是这个圆形区域的半径。一个矩形的对角线应是相等的，半径是5+4=9米，因此水池的每边长是9米，根本不必用勾股定理。

请注意这个解题技巧的意义。你也可以用其它常规的解答方法试试看，如果你只用勾股定理和三角形的有关知识去求解，那么解题过程恐怕是冗长繁琐的。平面几何中有一个定理：同一圆内两弦相交，那么一条弦被交点分成的两部分之积等于另一条弦两部分之积。如果你记住了这个定理，那么解题过程还可能简化一些。根据这个定理可以得出右边三角形的高度是56的平方根。再应用勾股定理可以算出右边三角形的斜边是9米。

还有一个与此相类似的问题，便是诗人亨利·龙菲洛(Henry Longfellow)在他的小说《卡文那》(Kavenaugh)中提到的关于睡莲的问题(见图2-4)。当睡莲的茎向上直立时，花高出湖面10厘米；如果你把睡莲拉向一边，始终保持茎是直的，花在距茎向上直立时与水面的接触点21厘米远处接触水面，请问水有多深？

图2-4

解决这个问题首先要画一张示意图，如上图所示。这里画图就像解决游泳池的边长问题需要画图一样十分必要，我们的目标是确定x的长度，解决这个问题的方法同样不止一个，但如果你记住了相交弦定理，那么这个问题便迎刃而解了。

这里还有一个关于游泳池的有趣的问题，如知道技巧便可很快解决。一只海豚在一个圆形游泳池的西岸边A点，沿直线向前游12米，到达岸边B点；调转一个方向再游5米，到达岸边C点，而C点刚好和海豚出发处A点相对。请问海豚从A点直接游到C点需游多少米?

解决问题的技巧是，有一个定理：半圆所对的圆周角是直角。因此三角形ABC是直角三角形。这里已知两条直角边是5和12，那么斜边自然是13米。

以上几个问题都说明这样一个道理：解决某些几何问题，有时应用欧几里德几何学的一些最基础的知识，就可以使问题变得相当简单。