分割理论

拿兰莎的三个问题来和朋友开个玩笑倒是挺有意思。前两个问题的答案都不是规则的图形。这些图形的巧妙分割表明，一个正方形既然不能被分成五个小正方形，那它一定能被分成五个别的什么形状。解答方法如此浅显却很少有人想到，这真是令人遗憾。而这种方法又是把正方形五等份的唯一方法。

如果你的朋友对这类问题有兴趣，你可以接下来给他(或她)出第四个类似的问题。首先让你的朋友看看图2-17所示的图形，怎样能分成相同形状的四小块?能分成形状相同的三小块吗?

图2-17

你的朋友可能经过一番苦苦思索百思不解而放弃，这时你把答案给他(或她)看看，面对如此浅显的解答，你的朋友一定会瞠目而汗颜。这个问题的解答方法同兰莎分割正方形的思路如出一辙，答案如图2-18所示。这个方法同样可以把这个图形分割成任意等份。

图2-18

这类问题和前面切乳酪的问题一样，都属于娱乐数学(recreationaI mathematics)的一个重要的分支，有时称作“分割理论”。它为我们解决平面几何和立体几何中的许多实际问题提供了有效的方法。兰莎的头两个问题更有趣，因为分割后的小块与分割前的大块形状相似。如果一个图形能分成若干彼此全等而又与原图形相似的小图形，那么，这个图形就叫做“可缩图形”(rep—tile)。

图2—19又列了几个可缩图形，你能把它们分别分成若干彼此全等又和原图形状相似的小图形吗?

图2-19

“显然，若干小的可缩图形可以拼成同形状的大的可缩图形。假设某种可缩图形能够取之无尽用之不竭，可以推想，他们拼成的同形状的大的可缩图形会逐渐布满无尽的平面。比如，兰莎解决的第一个问题L形可缩图形，四个同样的小L形可以拼成一个大L形，然后四个同样的大L形可以拼成一个更大的L形。这样无止境地拼下去，结果当然会拼成一个无尽头的平面。反之一个大L形分成四个小L形，一个小L形再分成四个更小的L形。这样无止境地分下去，图形会越来越小，直至无穷小。

关于可缩图形我们研究得还很不够。凡已知的可缩图形都可以通过重复的拼接而充满一个平面。也就是说，一个基本的可缩图形通过水平延展而不是旋转或折转来拼成一个平面。有没有可缩图形不能重复地拼下去呢?这是拼接理论中一个尚未解决的比较艰深的问题。

关于空间的可缩图形我们研究得就更有限了。立方体属于这类空间的可缩图形，因为八个立方体可以组合成一个大立方体，就像四个正方形拼成一个大正方形一样。你能再想出别的立体的可缩图形吗?

如果我们不要求分割后的小图形与原来的图形形状相似，那么我们还能从这类问题中琢磨出别的趣味。例如图2—20所示，是一个由五个小正方形拼成的T字图形，它不能被分割成四个小T字图形但是你能把它分割成四个别的什么图形吗?

图2-20

把一个平面图形分割成尽可能少的全等图形(如两份)，这一目标更难达到。图2—21给出了几个例子，你有兴趣试着分割一下吗?答案见本书的附录。

分割理论还有一个分支，是将已知的多边形分割成尽可能少的几部分，当然形状不限，然后这些部分可以重新组合成另一个不同的给定的多边形。例如，一个正方形最少能被分成多少份，使被分割的部分能重新组合成一个正三角形?(答案是4份)这部分内容在《几何分割中的重组同题》(Recreational problems in Geomeerie Dissections)和《亨利·林格如何解决这些问题》(How to Solve Them by Harry Lindgren)两书中有详尽而精彩的论述。