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1、3、1、2函数的最值教案(人教版必修1)
作者:未知 文章来源:网上收集 点击数: 更新时间:2013-8-16 22:33:23

简介

1、3、1、2函数的最值
学案编写者:黄冈实验学校数学教师孟凡洲
一、【学习目标】
1、理解最值的含义及函数有最值的几何意义;
2、会利用数形结合的思想解决最值问题.
二、【自学内容和要求及自学过程】
阅读材料,自学教材30页内容,回答问题(最高、低点,最值)
材料:右图是函数y=-x2-2x、y=-2x 1,x∈[-1, ∞)、y=f(x)的图象.观察下列三个图像你能说出它们有什么共同特征吗?
<1>你是怎样理解函数的最高点的?用你自己的语言叙述一下;
<2>在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y),如右图所示,设点C的坐标为(x0,y0),你能用数学符号解释:函数y=f(x)的图象有最高点C?
<3>在数学中,函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.你能给出函数最大值的定义吗?
<4>函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又具有什么特征?
结论:<1>图象最高点的 是所有函数值中的最大值,即函数的最大值;<2>由于点C是函数y=f(x)图象的最高点,则点A在点C的下方(或和点C的y值相等),即对定义域内任意x,都有 ,即 ,也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x,均有 成立;<3>一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有 ;(2)存在 ,使得f(x0)=M(定义域优先的原则).那么,称M是函数y=f(x)的最大值;<4> f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值 (注意:不是“小于”)实数M;这个函数的特征是图象有最高点,并且最高点的 坐标是M.
思考:<1>函数y=-2x 1,x∈(-1, ∞)有最大值吗?为什么?点(-1,3)是不是函数y=-2x 1,x∈(-1, ∞)的最高点?由这个问题你发现了什么值得注意的地方?
<2>类比函数的最大值,请你给出函数的最小值的定义及其几何意义;
结论:<1>讨论函数的最大值,(要坚持定义域优先的原则);函数图象有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图象上的点;<2>函数最小值的定义是:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有 ;(2)存在 ,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义:函数图象上最 点的 坐标;讨论函数的最小值,也要坚持 优先的原则;函数图象有最低点时,这个函数才存在最小值,(最低点必须是函数图象上的点).
三、【练习与巩固】
快速浏览教材第30页例3,认真自学教材第31页例4,完成练习
练习一:请你合上课本,把例4自己演算一遍;
练习二:教材第32页练习第5题.
思考:已知函数f(x)=x ,x>0,①证明当00的最小值.
结论:<1>略;<2>(1)解:任取x1、x2∈(0, ∞)且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1+1/x1)-(x2 1/x2)=(x1-x2) (x2-x1)/x1x2 =[(x1-x2)(x1x2-1)]/x1x2∵x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0.当0<x1<x2<1时,x1x2-1<0,∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2),即当00,∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2),即当x≥1时,函数f(x)是增函数.(2)解法一:由(1)得当x=1时,函数f(x)=x 1/x,x>0取最小值.又f(1)=2,则函数f(x)=x 1/x,x>0取最小值是2.解法二:借助于计算机软件画出函数f(x)=x 1/x,x>0的图象,如图所示,由图象知,当x=1时,函数f(x)=x 1/x,x>0取最小值f(1)=2.
点评:本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”;三个步骤缺一不可.利用函数的单调性求函数的最值的步骤:①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值;常用到下面的结论:①如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递增,在区间[b,c)上单调递减,则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);②如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递减,在区间[b,c)上单调递增,则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单调法.图象法求函数的最值的步骤:画出函数的图象,依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值.
四、【作业】
1、必做题:教材第39页习题1.3B组第1题(20);
2、选做题:教材第39页A组第4、5题.
五、【小结】
本节课主要讲了函数的最值.函数的最值包括最大值和最小值,最主要是讲解函数的最大值,然后通过类比得到函数的最小值的含义.这节课的重点是通过教学,培养学生从自然语言到数学符号语言的过度.

1、3、1、2函数的最值
学案编写者:黄冈实验学校数学教师孟凡洲
一、【学习目标】
1、理解最值的含义及函数有最值的几何意义;
2、会利用数形结合的思想解决最值问题.
【教学效果】:注意强调自然语言向符号语言的转变.
二、【自学内容和要求及自学过程】
阅读材料,自学教材30页内容,回答问题(最高、低点,最值)
材料:右图是函数y=-x2-2x、y=-2x 1,x∈[-1, ∞)、y=f(x)的图象.观察下列三个图像你能说出它们有什么共同特征吗?
<1>你是怎样理解函数的最高点的?用你自己的语言叙述一下;
<2>在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y),如右图所示,设点C的坐标为(x0,y0),你能用数学符号解释:函数y=f(x)的图象有最高点C?
<3>在数学中,函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.你能给出函数最大值的定义吗?
<4>函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又具有什么特征?
结论:<1>图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值;<2>由于点C是函数y=f(x)图象的最高点,则点A在点C的下方(或和点C的y值相等),即对定义域内任意x,都有y≤y0,即f(x)≤f(x0),也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成立;<3>一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M(定义域优先的原则).那么,称M是函数y=f(x)的最大值;<4> f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于(注意:不是“小于”)实数M;这个函数的特征是图象有最高点,并且最高点的纵坐标是M.
【教学效果】:学生基本上都能理解最大值的含义,但是对于自然与言向符号语言的过度,还是存在着障碍的.
思考:<1>函数y=-2x 1,x∈(-1, ∞)有最大值吗?为什么?点(-1,3)是不是函数y=-2x 1,x∈(-1, ∞)的最高点?由这个问题你发现了什么值得注意的地方?
<2>类比函数的最大值,请你给出函数的最小值的定义及其几何意义;
结论:<1>讨论函数的最大值,(要坚持定义域优先的原则);函数图象有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图象上的点;<2>函数最小值的定义是:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)(存在x0∈I,使得f(x0)=M).那么,称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标;讨论函数的最小值,也要坚持定义域优先的原则;函数图象有最低点时,这个函数才存在最小值,(最低点必须是函数图象上的点).
【教学效果】:学生对于平面直角坐标系中的点的坐标代表的含义,存在障碍,老师讲解要仔细.
三、【练习与巩固】
快速浏览教材第30页例3,认真自学教材第31页例4,完成练习
练习一:请你合上课本,把例4自己演算一遍;
练习二:教材第32页练习第5题.
思考:已知函数f(x)=x ,x>0,①证明当00的最小值.
结论:<1>略;<2>(1)解:任取x1、x2∈(0, ∞)且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1+1/x1)-(x2 1/x2)=(x1-x2) (x2-x1)/x1x2 =[(x1-x2)(x1x2-1)]/x1x2∵x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0.当0<x1<x2<1时,x1x2-1<0,∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2),即当00,∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2),即当x≥1时,函数f(x)是增函数.(2)解法一:由(1)得当x=1时,函数f(x)=x 1/x,x>0取最小值.又f(1)=2,则函数f(x)=x 1/x,x>0取最小值是2.解法二:借助于计算机软件画出函数f(x)=x 1/x,x>0的图象,如图所示,由图象知,当x=1时,函数f(x)=x 1/x,x>0取最小值f(1)=2.
点评:本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”;三个步骤缺一不可.利用函数的单调性求函数的最值的步骤:①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值;常用到下面的结论:①如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递增,在区间[b,c)上单调递减,则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);②如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递减,在区间[b,c)上单调递增,则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单调法.图象法求函数的最值的步骤:画出函数的图象,依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值.
四、【作业】
1、必做题:教材第39页习题1.3B组第1题(20);
2、选做题:教材第39页A组第4、5题.
五、【小结】
本节课主要讲了函数的最值.函数的最值包括最大值和最小值,最主要是讲解函数的最大值,然后通过类比得到函数的最小值的含义.这节课的重点是通过教学,培养学生从自然语言到数学符号语言的过度.
六、【反思】
学生对新知识的接受能力比较差,作为教师,要能深入简出,循序渐进的把知识传授给学生,掌握学生的认知规律.


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